משפט מונטל

באנליזה מרוכבת, משפט מונטל הוא משפט המספק תנאי הכרחי לקיום תת-סדרת פונקציות הולומורפיות וחסומות המתכנסת במידה שווה על תתי קבוצות קומפקטיות. באופן שקול, המשפט קובע כי משפחת פונקציות הולומורפיות חסומות מקומית היא נורמלית.

זהו משפט יסודי באנליזה מרוכבת, המשמש כלי להוכחת טענות ומשפטים בתחום, כמו משפט ההעתקה של רימן. המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי פאול מונטל, שעסק בעיקר בתורת הפונקציות ההולומורפיות.

ניסוח

יהי $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ תחום פתוח וקשיר במישור המרוכב. תהי $\{f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} \}$ סדרת פונקציות הולומורפיות וחסומות. אז קיימת תת-סדרה $\{f_{n_{k}}\}$ המתכנסת במידה שווה על כל תת-קבוצה קומפקטית $K\subseteq \Omega$.

בשפה של משפחות פונקציות נורמליות, הטענה אומרת שמשפחת הפונקציות החסומות היא נורמלית.

גרסה חלשה

למעשה, מספיק לדרוש חסימות מקומית על כל תת-קבוצה קומפקטית והמשפט עדיין יהיה נכון.

פורמלית, בתנאים הנ"ל, במקום להניח חסימות גלובלית, מספיק להניח שלכל $K\subseteq \Omega$ קומפקטית קיים חסם לפונקציות על קבוצה זו.

משפט ויטלי

משפט ויטלי הוא משפט בעל אופי דומה למשפט מונטל, ולמעשה שקול לו.

נניח ש-$\{f_{n}\}$ סדרת פונקציות הולומורפיות וחסומות, וקיימת סדרה $\{z_{n}\}\subseteq \Omega$ המתכנסת לגבול $z_{0}\in \Omega$. אם סדרת הפונקציות מתכנסת על הסדרה הנ"ל, אז קיימת עבורה תת-סדרה המתכנסת במידה שווה על כל תת-קבוצה קומפקטית.

קומפקטיות סדרתית

משפט מונטל טוען בפרט שאוסף הפונקציות החסומות (באחידות) בתחום קומפקטי הוא קומפקטי סדרתית. היות שזהו מרחב מטרי, נובע שהוא גם קומפקטי.

מרחבי מונטל

מרחבי פונקציות המקיימים את משפט מונטל נקראים מרחבי מונטל. מרחבי מונטל הם מרחבים וקטוריים טופולוגיים בהם כל תת-קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית. הם גם מקיימים את תכונת היינה בורל.